【摘要】 慣量匹配是伺服系統設計中必須考慮的因素之一。本文主要分析了慣量匹配對伺服系統穩定性及加速性能的影響并簡略提出了慣量匹配的實用性原則。
【關鍵字】慣量匹配、伺服系統、伺服控制策略
The Generalized Principle of Inertia Matching for Servo System
[Abstract] Inertia Matching is one of the essential factors in servo system design. This paper briefly discusses the effects of inertia matching in stability and acceleration performance of servo system, and gives some practical advices of inertia matching for servo system. A strategy for servo control in presence of inertia mismatching is then introduced.
[Keywords] Inertia Matching; Servo System; Strategy for Servo Control
0. 引言
在伺服控制系統設計或是伺服電機的選型過程中，常常需要考慮慣量問題，慣量是影響伺服系統響應速度和穩定性的重要因素。總的來說，是希望系統的總體慣量越小越好，因為更小的系統慣量意味著更大的加速能力和更快的瞬態響應速度。在負載慣量一定的條件下，我們通常通過減小電機的轉子慣量來達到降低系統總體慣量的目的，但這樣的做法則不可避免的遇到慣量匹配的問題。
慣量匹配原則是指折算到電機軸的負載慣量與電機的轉子慣量之比不能過大，必須小于一個推薦值，當慣量比過大時，系統一般會出現振蕩甚至失控。這樣一個原則被廣泛接受和使用，但是很少有人去深究其內在的理論依據，伺服系統的設計者通常也并不十分清楚負載電機慣量比與系統穩定性的深層關系，因此慣量匹配原則始終作為一個經驗法則存在著。
本文建立了一個簡單的物理模型，用于分析慣量匹配對系統控制的影響，并基于此分析得到關于慣量匹配的實用性建議，為更好的理解負載電機慣量比與系統穩定性、響應性能等之間的關系，更合理的利用慣量匹配原則提供參考。
1. 伺服系統建模
1.1 傳統模型
在傳統的伺服系統設計中，一般認為負載和電機之間的傳動裝置剛性是無窮大的，其模型示意圖如圖1：
圖1 簡單的電機——負載傳動模型
設定電機的轉動慣量為JM；負載慣量為JL；傳動比為i；傳動效率為η；傳動裝置慣量為JC；電機軸轉速為ωM；電機軸輸出轉矩為TM，系統滿足以下基本方程：
負載轉速ωL：
負載轉矩TL：
折算到電機軸的負載慣量JLM：
從以上表達式可以看出，如果使用減速比為i的減速器連接負載和電機，電機輸出的轉速將會下降為原來的1/ i；而折算到電機軸上的慣量會下降為原來的1/ i2，對于大慣量負載而言，這是降低負載電機慣量比的有效方法，但是系統的加速轉矩也將會提高到原來的i倍。
如果系統滿足慣量匹配，一般認為此時系統可以達到最大的能量傳遞效率，而負載也將獲得最大的加速性能。為了確定負載電機慣量比與系統加速性能之間的關系，對圖1中的系統作如下假定：
（1） 直接耦合到電機軸上的齒輪或皮帶輪的慣量作為電機轉子慣量的一部分；
（2） 直接耦合到負載軸上的齒輪或皮帶輪的慣量作為負載慣量的一部分；
（3） 忽略傳動裝置的效率、摩擦和自身慣量等因素；
系統滿足方程：
（1）
電機的加速度為：
（2）
其中
為負載的加速度。
由（1）、（2）兩式可以推出，負載的加速度為：
（3）
電機的輸出轉矩TM一定，要知道最大負載加速度時的慣量比，即需要知道確定最大負載加速度時對應的傳動比i的值，式（3）對i求導，得：
（4）
令式（4）等于0；得：
（5）
由式（5）不難算出，當負載獲得最大加速度時，折算到電機軸的負載慣量JLM與電機轉矩JM之比為1:1。從以上分析可知，在理想狀態下，調整負載電機慣量比為1:1有助于系統的加速性能。但在實際應用過程中，由于傳動裝置的效率，空程間隙等機械特性，傳動裝置自身的慣性，負載的反沖作用，系統的傳動剛性等諸多因素的影響，設置負載慣量比為1:1并不具有很高的效率，而且增加減速比的方式也會提高整個系統所需要的加速轉矩。在如上諸多因素中，系統的傳動剛性是最需要考慮的問題，因為在系統傳動剛性較差的前提下，如果負載電機的慣量比過大將會導致系統振蕩，出于系統穩定性的考慮，需要修改電機到負載的傳動模型。
1.2 改進模型
使用一根彈性軸作為連接負載和電機的傳動裝置，忽略傳動裝置的內部細節，忽略彈性軸直徑等次要因素，僅僅將注意力放在傳動剛性上，基于以上假設建立負載和電機之間的傳動模型，其示意圖如圖2：
圖2 電機——負載彈性傳動模型
圖中：TM為電機的輸出轉矩；TL為負載轉矩；BM和BL分別為電機和負載的粘性摩擦系數；KS為彈性軸的抗扭剛度；ωM和ωL分別是電機和負載的轉速，θM和θL分別表示電機和負載角位移，θS為彈性軸的扭轉度。
JM和JL分別為電機和負載的轉動慣量，系統滿足運動方程：
（6）
（7）
（8）
使用式（6）、（7）、（8）可以得到電機和負載速度響應，通過拉氏轉換求得其傳遞函數，分別表示為：
（9）
（10）
其中式（9）為電機的速度響應、式（10）為負載的速度響應。
θS是一個與表征系統振蕩特性的變量，忽略粘性摩擦系數，由式子（8）、（9）、（10）可得：
（11）
使用一個單位階躍力矩TS作用于系統，對式（11）做拉氏轉換的逆運算可得：
（12）
其中Ir為負載電機慣量比，即：
式（12）為表征系統的振蕩特性的表達式。從式（12）可以看出，增大系統的傳動剛度將升高振蕩的頻率，但會降低振蕩的幅值，當系統的傳動剛度為無窮大時，振蕩消失。小范圍內增大慣量比將小幅度的降低振蕩頻率，同時小幅度增大振蕩幅值，但是當慣量比很大的時候，較小范圍調整慣量比的值對系統振蕩已經沒有明顯的影響。總而言之，相比較慣量比而言，系統的傳動剛性是影響系統穩定性的更重要的因素。
2. 慣量匹配的實用性原則
如果系統傳動剛性為無窮大，那么負載電機慣量比也可以設置到無窮大。對于一個無限傳動剛性的系統而言，負載慣量和電機慣量可以看做統一的整體，甚至可以認為負載和電機軸是一體的，此時慣量比不再成為問題，慣量匹配原則也將失效。從上文的分析可知，負載電機慣量比并不是導致系統振蕩的主因，而只是振蕩的指示標志，其更大的原因是系統的傳遞剛性，如何希望根除系統振蕩現象，更多的時候應該從增大系統傳動剛性的角度下功夫。
對于通常條件下使用到的傳動裝置，我們也可以通過式（12）來做定性分析，從式中我們可以知道對于小范圍內變化的負載慣量，可以通過增大系統傳動剛性Ks、或是降低負載電機慣量比來規避系統振蕩，但是對于確定負載電機慣量比的上限，通常的辦法是利用經驗法則。對于常見的滾珠絲杠伺服系統，一般認為當慣量比大于10:1時系統對負載慣量的變化將變得十分敏感，而對于步進電機的控制，一般認為慣量比大于2:1~3:1時，系統將變得難以控制，實際上摩擦對降低振蕩是有幫助的，步進電機的定位轉矩對吸收振蕩有一定的作用，通常情況下步進電機的慣量比上限可達到4:1~5:1。另外對于有些伺服電機宣稱的可以達到慣量比50:1，實際上是保持系統穩定性條件下明顯犧牲系統的加速性能的一種控制方式，并不在本文的討論范圍內。
3. 結論
本文討論的彈性軸負載——電機傳動模型，可以清晰直觀的幫助了解系統穩定性與負載電機慣量比之間關系。但由于此模型中未提及傳動裝置內部摩擦、負載的反沖作用力等諸多影響伺服系統穩定性的因素，在實際應用中仍有其局限性。
參考文獻
[1] Jeff Moscrop, Chris Cook, and Peter Moll, “Control of Servo Systems in the Presence of Motor-Load Inertia Mismatch,” in The 27th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Socitety, Denver, USA, 2001.
[2] Richard W. Jr. Armstrong, “Load to Motor Inertia Mismatch: Unveiling The Truth,” in Drives and Controls Conference, Telford, England, 1998.
